Ce livre se décompose en trois parties, Dans la première partie on présente la technique de Frobenius pour l'obtention du développement en série entière des solutions du type hypergéométriques d'une équation différentielle de second ordre à coefficient non constant autour des points réguliers. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la fonction Gamma d'Euler. Après avoir présenté ces résultats bien connus sur la fonction gamma, nous nous intéressons par la suite à la représentation intégrale de la fonction gamma par certains intégrales définies (ou périodes) ou les intégrales curvilignes (le long d'un contour) ainsi que différentes identités remarquables satisfaite par cette fonction. La troisième partie sera consacrée aux développements des fonctions eulériennes et de quelque fonctions hypergéométriques. Ces développements vont permettre aux lecteurs de comprendre comment nous allons obtenir une généralisation de l'opérateur de dérivation de Rimenann-Liouville.